含参数的一元二次方程的整数根问题

介绍几个例题

m是什么整数时，方程
(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0
　　有两个不相等的正整数根．
　　解法1 首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得

　　由于x1，x2是正整数，所以
m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
　　解得m=2．这时x1=6，x2=4．

第一题：当a=o时显然不成立，当a不等于0时，为一元二次方程，要使有整数根，必要条件为判别式为完全平方数。判别式=-3a^2+2a+9有最大值为28/3,又因为判别式大于等于0。所以判别式只能为0或1或4。

当判别式=0，a无整数解。当判别式=1，a有一个整数解为2。当判别式=4,a有一个整数解为-1。

综上a=2或-1.

第二题：判别式=p^2-4q^4必定为完全平方数。设p^2-4q^4=t^2,显然可知p>q.

移项得（p+t)(p-t)=4q^4,右边为偶数，则左边也为偶数。又因为（p+t)与(p-t)奇偶性相同，所以它们中各含一个一个因子2。且（p+t)>(p-t)。

若p+t=2q^4,p-t=2，则消去t得p-1=q^4。若q为奇，则q为偶，不可能；所以q为偶，即q=2,p=17.

若p+t=2q^3,p-t=2q，消去t得p=q^3+q，显然p有因子q，与p为质数矛盾。

综上q=2，p=17。整数根为-1和-16。

第三题：(q-px)x=1985=5*397,（397为质数）则易知x=5或397（这是每一个根都要满足的条件）

x1+x2=q/p,x1*x2=1985/p。

若两个根都为5，带入后矛盾；

若两个根都为397，带入后也矛盾；

若一个根为5，一个根为397，可得p=1,q=402。所以原式=12+402=414

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