糖水不等式

a克糖水中有b克糖（a＞0，b＞0，且a＞b），则糖的质量与糖水的质量比为.若再添加c克糖（c＞0），则糖的质量与糖水的质量比为.生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜。于是得出一个不等式：，称为“糖水不等式”。

请你思考：若从原来a克糖水中提炼出c克糖（c<b），则糖水会变得没有原来甜，你能得到另外的“糖水不等式”吗？

(b-c)/(a-c)<b/a，这里abc均大于零，且c<b<a
是这意思么？

糖水问题 在含有a克糖的b克糖水中,加入m克糖,糖水会变甜. 这一事实中,我们可以得到这样一个数学命题： 如果b＞a＞0,那么a/b＜(a+m)/(b+m),其中m＞0，m为实数 解： 从化学角度说，糖水会变甜，指溶解在水中的糖的质量分数变大了 原糖水中溶解在水中的糖的质量分数=a/b*100% 加入m克糖,即溶液中溶质的量增大了，增大后溶解在水中的糖的质量=a+m 同样的，溶液的质量也增大了，增大后溶液的质量变为b+m 所以加入m克糖后，溶解在水中的糖的质量分数增大为=（a+m)/(b+m)*100% 溶液质量大于溶质质量大于0,b＞a＞0 从而得到结论a/b＜(a+m)/(b+m) （注意 m取值范围m＞0，m为实数) 从数学角度，我们则要进行计算，如下： (a+m)/(b+m)-a/b =[(a+m)b-(b+m)a]/(b+m)b =m(b-a)/(b+m)b 其中(b+m)b 为分母，(b+m)b＞0 m(b-a)为分子，由b＞a＞0，可知m(b-a)＞0 所以m(b-a)/(b+m)b ＞0 即(a+m)/(b+m)-a/b＞0 可知(a+m)/(b+m)＞a/b 从而得到结论a/b＜(a+m)/(b+m) （注意 m取值范围m＞0，m为实数) 均值不等式的证明 证明方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点， 则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数 所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn) 即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)