已知a>0,函数f(x)=1/2x^2十2a(a十1)Inx一(3a十1)x
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解决时间 2021-11-24 09:48
- 提问者网友：容嬷嬷拿针来
- 2021-11-23 18:14
已知a>0,函数f(x)=1/2x^2十2a(a十1)Inx一(3a十1)x
最佳答案
- 五星知识达人网友：一秋
- 2021-11-23 18:52
解：1）f′(x)=1/x -a x-2, 若f（x）存在单调递减区间,则在（0,+∞）上f′(x)≤0，
∴a ≥1/x²-2/x=(1/x -1)²-1≥-1
即a∈[-1+∞)
2) 若a=-1/2，f(x)=-1/2 x+b可化为lnx+1/4 x^2-3/2 x=b
令g(x)= lnx+1/4 x^2-3/2 x,则g′(x)=1/x+1/2 x -3/2
1/x+1/2 x -3/2=0,得x=1,x=2, g′(x)在（1,2）<0,在（2,4）>0,故x=2是g(x)的
极小值点。g(1)=-5/4,g(2)=ln2-2,g(4)=2ln2-2,
故当b∈(ln2-2,-5/4)时关于x的方程f(x)=-1/2x+b在[1,4]上恰好有两个不相等的实根
∴a ≥1/x²-2/x=(1/x -1)²-1≥-1
即a∈[-1+∞)
2) 若a=-1/2，f(x)=-1/2 x+b可化为lnx+1/4 x^2-3/2 x=b
令g(x)= lnx+1/4 x^2-3/2 x,则g′(x)=1/x+1/2 x -3/2
1/x+1/2 x -3/2=0,得x=1,x=2, g′(x)在（1,2）<0,在（2,4）>0,故x=2是g(x)的
极小值点。g(1)=-5/4,g(2)=ln2-2,g(4)=2ln2-2,
故当b∈(ln2-2,-5/4)时关于x的方程f(x)=-1/2x+b在[1,4]上恰好有两个不相等的实根
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