正负惯定指数和特征值什么关系

正负惯定指数和特征值什么关系

特征值和正负惯性指数的关系：一个对称阵的正特征值的个数就是正惯性指数，负特征值的个数就是负惯性指数。
用矩阵的语言来表述即：与一个给定的实对称矩阵A合同的对角矩阵的对角线元素中,正的个数和负的个数是由A确定的，把这两个数分别称为A的正惯性指数和负惯性指数。合同于A的规范对角矩阵是唯一的，其中的自然数p，q就是A的正，负惯性指数。
正惯性指数，属于数学学科，简称正惯数，是线性代数里矩阵的正的特征值个数，也即是规范型里的系数"1"的个数。实二次型的标准形中，系数为正的平方项的个数为二次型的正惯性指数。负惯性指数，简称负惯数，是线性代数里矩阵的负的特征值个数，也即是规范型里的系数"-1"的个数。



扩展资料
一、求n阶矩阵A的特征值的基本方法：
根据定义可改写为关系式


 ， 

 为单位矩阵（其形式为主对角线元素为λ-

 ，其余元素乘以-1）。
要求向量 

 具有非零解，即求齐次线性方程组 

 有非零解的值 

 。
即要求行列式 

 。 解次行列式获得的 

值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的 

 ，即为输入这个行列式的特征向量。
二、求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：
参考资料来源：搜狗百科-正惯性指数

参考资料来源：搜狗百科-特征值

“正特征”值即为“正惯性指数”，同理“负特征”值即为“负惯性指数”。 1. 特征值简介： 特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 a 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维 列向量 x，使得 ax=mx 成立，则称 m 是a的一个特征值（characteristic value)或 本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为 矩阵a的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称a的特征向量或a的本征向量。又称 本征值 ，英文名eigen value。“特征”一词译自德语的eigen，由 希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（ 赫尔曼·冯·亥姆霍兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。 2. 基本定义： 设 a为n阶矩阵，若存在 常数λ及n维 非零向量x，使得 ax=λx，则称λ是矩阵 a的特征值，x是 a属于特征值λ的特征向量。  a的所有特征值的全体，叫做a的谱，记为： 3. 广义特征值： 如将特征值的取值扩展到 复数领域，则一个广义特征值有如下形式： a ν=λ b ν 其中 a和 b为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程( a-λ b) ν=0，得到det( a-λ b)=0（其中det即行列式）构成形如 a-λ b的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。 若 b可逆，则原关系式可以写作： ，也即标准的特征值问题。当 b为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时， 广义特征值问题应该以其原始表述来求解。 如果 a和 b是 实对称矩阵，则特征值为 实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为 a矩阵未必是对称的。  4. 求特征向量： 设 a为n阶 矩阵，根据关系式 ax=λx，可写出(λ e- a)x=0，继而写出 特征多项式  |λ e- a|=0，可求出矩阵 a有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λi e- a)x=0，所求 解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

正负惯定指数是指特征值为正的个数

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