已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,
(1)求f(0).
(2)判断函数的奇偶性,并证明之.
(3)解不等式f(a2-4)+f(2a+1)<0.
已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,(1)求f(0).(2)判断函数的奇偶性,并证明之.(3)解不等式f(
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解决时间 2021-02-27 14:50
- 提问者网友:谁的错
- 2021-02-27 03:14
最佳答案
- 五星知识达人网友:逐風
- 2020-05-23 04:07
解:(1)取x=y=0则f(0)=2f(0)∴f(0)=0
(2)f(x)是奇函数.其证明如下:
对任意x∈R,取y=-x则f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=f(0)=0即f(-x)=-f(x)
∴f(x)是R上的奇函数
(3)任意取x1,x2∈R,x1<x2,则x2=x1+△x(其中△x>0)
∴f(x2)=f(x1+△x)=f(x1)+f(△x)
∴f(x2)-f(x1)=f(△x)>0即f(x2)>f(x1)
∴f(x)是R上的增函数
又∵f(a2-4)+f(2a+1)<0
∴f(2a+1)<-f(a2-4)=f(4-a2)
∴2a+1<4-a2即a2+2a-3<0
∴-3<a<1解析分析:解决此类问题的关键是利用好条件中的函数性质等式.(1)利用赋值法求f(0)的值;(2)利用赋值法及定义证明函数的奇偶性;(3)利用函数的单调性解不等式.点评:抽象函数求值问题的方法就是赋值.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法.抽象函数解不等式应利用函数的单调性及奇偶性来解决.
(2)f(x)是奇函数.其证明如下:
对任意x∈R,取y=-x则f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=f(0)=0即f(-x)=-f(x)
∴f(x)是R上的奇函数
(3)任意取x1,x2∈R,x1<x2,则x2=x1+△x(其中△x>0)
∴f(x2)=f(x1+△x)=f(x1)+f(△x)
∴f(x2)-f(x1)=f(△x)>0即f(x2)>f(x1)
∴f(x)是R上的增函数
又∵f(a2-4)+f(2a+1)<0
∴f(2a+1)<-f(a2-4)=f(4-a2)
∴2a+1<4-a2即a2+2a-3<0
∴-3<a<1解析分析:解决此类问题的关键是利用好条件中的函数性质等式.(1)利用赋值法求f(0)的值;(2)利用赋值法及定义证明函数的奇偶性;(3)利用函数的单调性解不等式.点评:抽象函数求值问题的方法就是赋值.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法.抽象函数解不等式应利用函数的单调性及奇偶性来解决.
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- 1楼网友:深街酒徒
- 2021-02-12 11:10
感谢回答,我学习了
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