已知a,b,c∈Rˆ+,且a+b+c=1,求证[(1-a)/a]*[(1-b)/b]*[(1-c)/c]≥8。
要过程哈!
已知a,b,c∈Rˆ+,且a+b+c=1,求证[(1-a)/a]*[(1-b)/b]*[(1-c)/c]≥8。
要过程哈!
由a+b+c=1,得1-a=b+c,1-b=a+c,1-c=a+b
[(1-a)/a]*[(1-b)/b]*[(1-c)/c]=[(b+c)/a]*[(a+c)/b]*[(a+b)/c]
≥[2根号(bc)/a]*[2根号(ac)/b]*[2根号(ab)/c]=8abc/(abc)=8
要证它``即证(1-a(1-b)(1-c)≥8abc
``即证1+bc+ac+ab-a-b-c≥9abc
``即证ab+bc+ac≥9abc
因为(ab+bc+ac)/3≥3根号(ab*bc*ac)=3abc
所以ab+bc+ac≥9abc
得证
要证它``即证(1-a(1-b)(1-c)≥8abc
``即证1+bc+ac+ab-a-b-c≥9abc
``即证ab+bc+ac≥9abc
因为(ab+bc+ac)/3≥3根号(ab*bc*ac)=3abc
所以ab+bc+ac≥9abc
得证