如图，一次函数y=- 1 2 x-2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延

如图，一次函数y=- 1 2 x-2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y= k x （x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ= 1 2 ．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．

（1）∵y=-
1
2 x-2
令y=0，得x=-4，即A （-4，0）
由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（-2，0）
又∵tan∠AOQ=
1
2 可知QC=1
∴Q点坐标为（-2，1）
将Q点坐标代入反比例函数得：1=
k
-2 ，
∴可得k=-2；

（2）证明：由（1）可知QC=PC=1，AC=CO=2，且A0⊥PQ
∴四边形APOQ是菱形．

证明： 
 ∵ ∠aob=90°，p为ab中点 pc⊥x轴 
 ∴ ∠oap=∠aop,∠pqo=∠qpo=90°,pc//y轴 
 ∴c为 ao中点 
 ∵易知tan∠tanoab=∠aoq=1\2 
 ∴∠aop=∠aoq 
 ∴三角形ocp全等于三角形ocq 
 ∴cp=cq 
 ∴所以q坐标为（-2,1）apoq为菱形（对角线互相平分且垂直） 
 k=-2