若a＜b＜c,则函数（x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(a，b),(b,c)内，求解答

详细分析

f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)
首先,这是一个二次函数,最多两个根.
f(c)=(c-a)(c-b)>0
f(b)=(b-c)(b-a) b-c<0 b-a>0
所以:f(b)>0
f(a)=(a-b)(a-c)>0
应用零点定理:
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ 由于f(c)>0 f(b)<0 在(b,c)内,至少存在一解.
同时,在(a,b),至少存在一解.
由于只有两解,所以:
若a＜b＜c,则函数（x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(a，b),(b,c)内

∵a＜b＜c，∴f（a）=（a-b）（a-c）＞0，f（b）=（b-c）（b-a）＜0，f（c）=（c-a）（c-b）＞0， 由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点； 又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点， 因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内． 故选a．