a=(n-7)(n-8),a是完全平方数,求n的最大值
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解决时间 2021-03-01 17:39
- 提问者网友：爱了却不能说
- 2021-03-01 04:54
a=(n-7)(n-8),a是完全平方数,求n的最大值
最佳答案
- 五星知识达人网友：拾荒鲤
- 2021-03-01 06:04
分两步：（1）0为完全平方数，若a=0，即n=7或8时，a为完全平方数。
（2）：对于n>8的自然数来说，n-7,n-8为两个相邻的自然数，令m=n-8，则a=m（m+1)
对于任意两个相邻的自然数m和m+1，其平方分别为m^2和（m+1）^2
其平方的差值为（m+1）^2-m^2=2m+1，
也就是说对于任意两个完全平方数x^2,y^2,若0<x<y,则必有x^2-y^2>=2x+1
而a=m(m+1)=m^2+m中，显然m^2为完全平方数，
若a为完全平方数，则需有a-m^2=m>=2m+1成立
显然，上述不等式对于任意正整数都不成立。
故满足题意的n的最大值为8.
（2）：对于n>8的自然数来说，n-7,n-8为两个相邻的自然数，令m=n-8，则a=m（m+1)
对于任意两个相邻的自然数m和m+1，其平方分别为m^2和（m+1）^2
其平方的差值为（m+1）^2-m^2=2m+1，
也就是说对于任意两个完全平方数x^2,y^2,若0<x<y,则必有x^2-y^2>=2x+1
而a=m(m+1)=m^2+m中，显然m^2为完全平方数，
若a为完全平方数，则需有a-m^2=m>=2m+1成立
显然，上述不等式对于任意正整数都不成立。
故满足题意的n的最大值为8.
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