【一阶线性微分方程】一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式怎么理解?

【一阶线性微分方程】一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式怎么理解?

【答案】 一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式应用“常数变易法”求解.
　　∵由齐次方程dy/dx+P(x)y=0
　　==>dy/dx=-P(x)y
　　==>dy/y=-P(x)dx
　　==>ln│y│=-∫P(x)dx+ln│C│ (C是积分常数)
　　==>y=Ce^(-∫P(x)dx)
　　∴此齐次方程的通解是y=Ce^(-∫P(x)dx)
　　于是,根据常数变易法,设一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的解为
　　y=C(x)e^(-∫P(x)dx) (C(x)是关于x的函数)
　　代入dy/dx+P(x)y=Q(x),化简整理得
　　C'(x)e^(-∫P(x)dx)=Q(x)
　　==>C'(x)=Q(x)e^(∫P(x)dx)
　　==>C(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C (C是积分常数)
　　==>y=C(x)e^(-∫P(x)dx)=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx)
　　故一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式是
　　y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx) (C是积分常数).

这下我知道了