设a,b,c的绝对值小于1，求证:bc+ca+ab+1>0

不等式 设a,b,c的绝对值小于1，求证:bc+ca+ab+1>0

设a,b,c的绝对值小于1，求证:bc+ca+ab+1>0
证明 构造一次函数,f(x)=(b+c)x+bc+1, ｜x｜<1.
它的图像是一条线段，且不包括两个端点，[-1,f(-1))] 和[1,f(1)]. 若能证明其两个端点的函数值f(-1) 和f(1) 均大于0, 则对定义域内的每一点x,f(x) 恒大于0.
因为｜b｜<1,｜c｜<1，则
f(-1)=-(b+c)+bc+1=(b-1)*(c-1)>0，
f(1)=b+c+bc+1=(b+1)*(c+1)>0.
所以f(a)=a(b+c)+bc+1>0。证毕.

我能给出最简单的做法！ a+b,b+c,c+a这三个数中，有抽屉原则知，必有两个同正负（0人未遇任何数同正负） 不妨设 a+b，a+c同正负，则(a+b)(a+c)>=0 另一方面 1-a^2>0 所以 ab+bc+ca+1= [a^2+a(b+c)+bc] + (1-a^2) =(a+b)(a+c)+(1-a^2)>0

a,b,c是绝对值小于1 易得|ab|，|bc|，|ca|均小于1 即(ab+1),(ac+1),(bc+1)均大于0 a,b,c中若有数为零，例a=0则 ab+bc+ca+1=bc+1>0 若三数均不为0，其中必有至少两个数同号 假设a,b同号，即有ab>0 由于|c|所以ab*c^2所以 ab+bc+ca+1>ab*c^2+bc+ca+1=(ac+1)(bc+1)>0