已知抛物线y24x焦点为F，准线为l，若l与x轴交于一点M，过FD的直线AB交抛物线C于A,B两点，过

是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在Q（x，y）满足QA垂直于QB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由

存在. 直线l:y=k(x+1) (k≠0) 联立y=k(x+1) ,y^2=4x.消去x得.y^2-4y/k+4=0 Δ=16/k^2-16>0.解得k^2<1且k≠0 由韦达定理:y1+y2=4/k. y1y2=4 设A(y1^2/4,y1) B(y2^2/4,y2) Q(y^2/4,y) 向量QA=[(y1^2-y^2)/4,y1-y).向量QB=[(y2^2-y^2)/4,y2-y] 因为QA⊥QB. 所以(y1^2-y^2)(y2^2-y^2)/16+(y1-y)(y2-y)=0 <=>(y1-y)(y2-y)[1+(y1+y)(y2+y)/16]=0 因为y≠y1,y≠y2 所以1+(y1+y)(y2+y)/16=0 整理得:y^2+4y/k+20=0 Δ=16/k^2-80≥0.解得k^2≤1/5 故k的取值范围是[-√5/5,0)∪(0,√5/5]

谢谢了