高数fx展开为傅里叶级数

高数fx展开为傅里叶级数

使用傅里叶级数的公式



(1)先求a0
a0=(1/π) ∫(π，-π) f(x)dx
=(1/π) ∫(π，-π) xdx
奇函数对称区间积分为0
=0
(2)再求an,bn
an=(1/π) ∫(π，-π) f(x)cos nx dx
=(1/π) ∫(π，-π) xcos nx dx
设g(x)=xcos nx
g(-x)=-xcos(-nx)=-xcos nx
可见被积函数是奇函数
所以an=0
bn=(1/π) ∫(π，-π) f(x)sin nx dx
=(1/π) ∫(π，-π) xsin nx dx
同理，可以得出xsin nx是偶函数
所以
bn=(2/π) ∫(π，0) xsin nx dx
用分部积分法
=(2/π) ∫(π，0) (-1/n) x d(cos nx)
=[-2/(nπ)] ∫(π，0) x d(cos nx)
=[-2/(nπ)] [x cos nx |(π，0) - ∫(π，0) cosnx dx]
=[-2/(nπ)] [πcos nπ - (1/n) sin nπ |(π，0)]
=[-2/(nπ)] [πcos nπ - 0]
=(-2/n) cos nπ
当n为奇数时，bn=2/n
当n为偶数时，bn=-2/n
所以bn=(-1)^(n+1) (2/n)
综上，傅里叶级数
f(x)=2 ∑ (-1)^(n+1) sin nx /n