(1)求f(x)的最小值;
(2)不等式f(x)>ax的解集为P,若M={x|
1 |
2 |
1 |
2 |
(1)f'(x)=ex-1由f'(x)=0得x=0
当x>0时,f'(x)>0,当x<0时,f'(x)<0,
故f(x)在(-∞,+∞)连续,
故fmin(x)=f(0)=1.
(2)∵M∩P≠φ,
即不等式f(x)>ax在区间[
1
2,2]有解f(x)>ax可化为(a+1)x<ex∴g(x)=
ex
x?1,x∈[
1
2,2],a<
ex
x?1在区间[
1
2,2]a<gmax(x)∵g′(x)=
(x?1)ex
x2故g(x)在区间[
1
2,1]递减,
在区间[1,2]递增,g(
1
2)=2
e?1
又g(2)=
1
2e2?1,且g(2)>g(
1
2)∴gmax(x)=g(2)=
1
2e2?1
所以,实数a的取值范围为(?∞,
1
2e2?1).
试题解析:
(1)求出函数的导数,利用导数为0,求出极值点,通过单调性说明极值点时是函数的取得最小值,即可.
(2)求出不等式的解集P,通过M∩P≠φ,说明x∈[
,2]时,a小于g(x)的最大值,利用函数的导数求出g(x) 的最大值即可.1 2
名师点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;空集的定义、性质及运算;交集及其运算.
考点点评: 本题是中档题,考查函数的导数的应用,转化思想的应用,考查计算能力.