己知函数f(X)=aX+(X-2)/(X+1) (a>1)，求证：f(X)在(-1，+oo)上为增函数
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解决时间 2021-01-28 17:05
- 提问者网友：抽煙菂渘情少年
- 2021-01-28 06:51
己知函数f(X)=aX+(X-2)/(X+1) (a>1)，求证：f(X)在(-1，+oo)上为增函数
最佳答案
- 五星知识达人网友：往事隔山水
- 2021-01-28 07:12
设x1>x2>-1
f(x1)-f(x2)
=a(x1-x2)+(x1-2)/(x1+1)-(x2-2)/(x2+1)
=a(x1-x2)+[(x1-2)(x2+1)-(x2-2)(x1+1)]/[(x1+1)(x2+1)]
=a(x1-x2)+[(x1x2-2x2+x1-2)-(x1x2-2x1+x2-2)]/[(x1+1)(x2+1)]
=a(x1-x2)+3(x1-x2)/[(x1+1)(x2+1)]
=(x1-x2)(a+3/(x1+1)(x2+1))>0
所以
f(X)在(-1，+oo)上为增函数
f(x1)-f(x2)
=a(x1-x2)+(x1-2)/(x1+1)-(x2-2)/(x2+1)
=a(x1-x2)+[(x1-2)(x2+1)-(x2-2)(x1+1)]/[(x1+1)(x2+1)]
=a(x1-x2)+[(x1x2-2x2+x1-2)-(x1x2-2x1+x2-2)]/[(x1+1)(x2+1)]
=a(x1-x2)+3(x1-x2)/[(x1+1)(x2+1)]
=(x1-x2)(a+3/(x1+1)(x2+1))>0
所以
f(X)在(-1，+oo)上为增函数
全部回答
- 1楼网友：撞了怀
- 2021-01-28 07:27
f(X)=aX+(X-2)/(X+1)
=ax-3/(x+1)+1
=a(x+1)-3/(x+1)+1-a
f'(x)=a+3/(x+1)^2>0
∴
f(X)在(-1，+oo)上为增函数
=ax-3/(x+1)+1
=a(x+1)-3/(x+1)+1-a
f'(x)=a+3/(x+1)^2>0
∴
f(X)在(-1，+oo)上为增函数
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