抽象代数定理：设H,k是群G的两个子群，则HK <= G <==> Hk=KH

抽象代数定理：设H,k是群G的两个子群，则HK <= G <==> Hk=KH

人家结论要证明不是说要证明HK <= G <==> Hk=KH嘛。那所以就是HK 是G的子群当且仅当Hk=KH咯。你没有充分读透题目要干嘛（一般不能保证是子群，但这里题目中要证的就是为子群的充要条件）
由推论1可以知道HK 是G的子群当且仅当HKHK=HK且(HK)^(-1)=HK。
而H^(-1)=H, K^(-1)=K, (HK)^(-1)=K^(-1)H^(-1)=KH这个总是成立的，即不管是不是子群都成立。于是如果HK 是G的子群，显然就必须有HK=KH（这个方向证明我们只需要结论中其一）；
反过来如果HK=KH，我们知道(HK)^(-1)=HK，同时可以验证HKHK=HHKK=HK（这个性质必须验证成立才能得到子群的结论）所以HK为子群。
进而结论成立。追问我还是不懂：
证明可以分个方向：
一、条件：H,k是群G的两个子群且HK <= G , 要推出Hk=KH //这条是怎么证的？
二、条件：H,k是群G的两个子群且Hk=KH , 要推出HK <= G

推论可以告诉我们：
一、当群G的非空子集H作成子群时，HH=H且H^(-1)=H
二、当群G的非空子集H满足HH=H且H^(-1)=H时，H是G的子群。追答HK <= G这个符号的意思你不懂吗？不就是HK为G的子群嘛。你把HK当做一个整体啦，拜托别总是拆开看，然后利用你的推论1，不就是要求(HK)^(-1)=HK 嘛，而(HK)^(-1)=K^(-1)H^(-1),又因为H,K都为子群，所以H^(-1)=H, K^(-1)=k代入不就得到了HK=KH嘛。