数学向量与函数结合的题

设A、B、C是直线L上的三点，向量OA,OB,OC满足关系：

OA+(Y-√3 sinXcosX)OB-(1/2+sin^2 X)OC=0

（式中各字母均代表向量）

（1）化简函数f（x)的表达式

(2)若函数g(x）=f(1/2x+π/3),X∈[0,7π/12)的图像与直线Y=b的交点的横坐标成等差数列，试求实数b的值

（3）令函数h（x)=√2 (sinx+cosx)+sin2x-a,若对任意的X1,X2∈[0,π/2],不等式

h(x1) ≤f（x2)恒成立，求实数a的取值范围

 

解：结合图形分析，AB=（6，0）设C（m,m/2 +2)，AC=(m+2，m/2 +2),BC=（m-4,m/2 +2）（1）当A为直角时，则6x（m+2）=0，此时m=-2（2）当B为直角时，则6x（m-4）=0，此时m=4（3）当C为直角时，则（m+2）x（m-4）+（m/2 +2）x（m/2 +2）=0，此时m=4根号5/5 设m，n是两个单位向量，其夹角是120°，求向量a=2m+n,与b=3m +2n的夹角的余弦值。m^2=∣m∣^2=1n^2=∣n∣^2=1mn=∣m∣*∣n∣cos120°=1*1*(-0.5)= -0.5ab=(2m+n)( 3m +2n)= 6m^2+7mn+2n^2=6*1+7*(-0.5)+2*1=4.5a^2=(2m+n)^2=4m^2+4mn+n^2=4*1+4*(-0.5)+1=3b^2=(3m+2n)^2=9m^2+12mn+4n^2=9*1+12*(-0.5)+4*1=7设向量a与b的夹角为θ，依公式得cosθ=ab/∣a∣∣b∣= ab/[（√a^2）*（√b^2）]将前面的计算代入得cosθ=4.5/(√3*√7)=3√21/14向量a与b的夹角的余弦值为3√21/14。  y=x²按向量a（m，n）平移后与2x-y-5=0有且只有一个交点（3，1）故可得两个等式方程y=(x-m)^2+n,即2x-5=(x-m)^2+n,过（3，1），故1=(3-m)^2+n有且只有一个交点（2m+2）^2-4(m^2+n+5)=0联立解m=2，n=0所以y=x²平移后的解析式为y=(x-2)^2