a、b为正实数，a^2+(b^2/2)=2，求a根号(1+b^2)的最大值

a、b为正实数，a^2+(b^2/2)=2，求a根号(1+b^2)的最大值

a^2+(b^2/2)=2可化为2a^2+b^2=4
原式=a√(1+b^2)=√a^2(1+b^2)
√2a^2(1+b^2)≤(2a^2+1+b^2)/2=(4+1)/2=5/2
∴√a^2(1+b^2)≤(5/2)/√2=5√2/4
∴a√(1+b^2)=5√2/4

b=2sint a=(根号2)×cost

a>0 b>0 则令0<t<π/2

a根号(1+b^2)=(根号2)cost(根号1+(2sint)^2)=根号(2(cost)^2+2(2sintcost)^2)

2(cost)^2+2(2sintcost)^2=cos2t-1+2(sin2t)^2=cos2t-1+2-2(cos2t)^2=-2(cos2t)^2+cos2t+1

最大值在cos2t=1/4时取得, 此时t在定义域中 值为根号(1/8+1)=(3/4)根号2

b²=4-2a²,

a√(1+b²)=(√2/2)√(2a²)*√(5-2a²)≤(√2/2)(2a²+5-2a²)/2=5√2/4.