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已知xy满足约束条件y<=x,x+2y<=4,y>=-2则S=x^2+y^2+2x-2y+2的最小值 答案是2 为什么?

答案:2  悬赏:0  手机版
解决时间 2021-02-28 19:47
已知xy满足约束条件y<=x,x+2y<=4,y>=-2则S=x^2+y^2+2x-2y+2的最小值 答案是2 为什么?
最佳答案
S=x^2+y^2+2x-2y+2
化为
(x+1)^2+(y-1)^2=S
圆心为(-1,1)且经过约束区域的最小圆的半径就是S,这可以通过画图确定。
全部回答

s=x^2+y^2+2x-2y+2=(x+1)^2+(y-1)^2

x,y满足(x-1)^2+y^2=1,这是一个圆心为a(1,0),半径为1的圆。

求s的最小值,就是求当圆a上的动点到点b(-1,1)距离平方的最小值。

显然,当圆a上的动点运动到ab的连线(线段ab)与圆的交点时,ab^2最小。

直线ab的方程:y=1/2(-x+1)

则:(x-1)^2+1/4(x-1)^2=1

(x-1)^2=4/5

x=1+ 2/5√5或1-2/5√5

显然x应该介于a和b的横坐标之间,即:-1<x<1

故只取x=1-2/5√5

y=1/2(-x+1)=1/2(-1+2/5√5+1)=√5/5

故smin=(x+1)^2+(y-1)^2=(1-2/5√5+1)^2+(√5/5-1)^2=6-2√5

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