求证1+1/2+1/3……+1/n-In(n+1) 存在极限
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解决时间 2021-03-31 21:24
- 提问者网友：容嬷嬷拿针来
- 2021-03-31 13:26
求证1+1/2+1/3……+1/n-In(n+1) 存在极限
最佳答案
- 五星知识达人网友：酒醒三更
- 2021-03-31 14:16
对 ： k ∈Z+
1/(k+1) =∫[k,k+1]1/(k+1)dx
<∫[k,k+1] 1/x dx = ln(k+1)-lnk
<∫[k,k+1] 1/kdx =1/k
∴
1/2+1/3……+1/n+1/(n+1)
<[ln(n+1)-lnn]+...+[ln2-ln1]=ln(n+1)
<1+1/2+1/3……+1/n
令：an = 1+1/2+1/3……+1/n-ln(n+1)
0<1+1/2+1/3……+1/n-ln(n+1)< 1- 1/(n+1) <1
∴ an为有界数列；
由：x>-1 时，ln(1+x)
∴ an为单调数列；
∴ an 存在极限。
lim(n->∞) {1+1/2+1/3……+1/n-ln(n+1)} = C =0.577215...
C 称为欧拉常数。
1/(k+1) =∫[k,k+1]1/(k+1)dx
<∫[k,k+1] 1/x dx = ln(k+1)-lnk
<∫[k,k+1] 1/kdx =1/k
∴
1/2+1/3……+1/n+1/(n+1)
<[ln(n+1)-lnn]+...+[ln2-ln1]=ln(n+1)
<1+1/2+1/3……+1/n
令：an = 1+1/2+1/3……+1/n-ln(n+1)
0<1+1/2+1/3……+1/n-ln(n+1)< 1- 1/(n+1) <1
∴ an为有界数列；
由：x>-1 时，ln(1+x)
∴ an为单调数列；
∴ an 存在极限。
lim(n->∞) {1+1/2+1/3……+1/n-ln(n+1)} = C =0.577215...
C 称为欧拉常数。
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