高中数学解析几何竞赛题

在直角坐标平面里,A点(4,0),B在圆(x-2)^2+y^2=1上,以AB边做正三角形ABC(A\B\C顺时针排列），求顶点C的轨迹。

【注：复数z=x+yi(x,y∈R)在复平面上的对应点Z(x,y),绕原点逆时针旋转t角度后，得到的复数点为(x+yi)(cost+isint)=(xcost-ysint)+(xsint+ycost)i.】解：坐标系平移，原点移至点A,则在新坐标系下，点A(0,0),圆的方程为(x+2)²+y²=1.可设点B(cosk-2,sink),点C(x,y).易知，点C逆时针旋转60º即得点B,故(cosk-2,sink)=((1/2)x-(√3/2)y,(√3/2)x+(1/2)y).===>cosk-2=(x/2)-(√3/2)y,sink=(√3/2)x+(y/2).===>2cosk=x-(√3)y+4,2sink=(√3)x+y.两式的两边分别平方，再相加，消去参数k,得：(x+1)²+(y-√3)²=1.故在原坐标系下，点C的轨迹方程为(x-3)²+(y-√3)²=1.

设b点坐标为(a,a^2/2),设ｂｃ直线方程为:x=a^2/4+tcosb,y=a+tsinb,t为截线长，代入抛物线y^2=4*x，求得t=(4cosb-2asinb)/(sinb)^2, 则ａｃ与ｂｃ垂直，则其方程为x=a^2/4+rcos(b+90度), y=a+rsin(b+90度),其中r为截线长，代入抛物线y^2=4*x，求得r=(-4sinb-2acosb)/(cosb)^2,则ａｃ＝ｂｃ，则t=r,即(4cosb-2asinb)/(sinb)^2=(-4sinb-2acosb)/(cosb)^2，求得a=4((cosb)^3+(sinb)^3)/(cosb*sinb*(cosb-sinb)),代入t值，可得t=-4/(sinb*cosb*(cosb-sinb)),其中-2sinb*cosb=sin(2b),最大值为b=-45度，cosb-sinb=sin(45度－b),最大值为b=-45度

B点(x1,y1),C(x,y) 用向量求解 |AC|=|AB||BC|cos60=|AB|=|BC| 结合(x1-2)^2+y1^2=1