已知过A(0,1)和B(4,a)且与x轴相切的圆有且只有一个,求a的值和圆的方程。
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解决时间 2021-05-08 21:24
- 提问者网友:喧嚣尘世
- 2021-05-08 09:26
已知过A(0,1)和B(4,a)且与x轴相切的圆有且只有一个,求a的值和圆的方程。
最佳答案
- 五星知识达人网友:孤独入客枕
- 2021-05-08 09:36
与x轴相切的圆,圆心的y坐标的绝对值为圆的半径。
所以,可设圆的方程为,
(x - c)^2 + (y - d)^2 = d^2,
(x - c)^2 + y^2 - 2dy = 0,
又,a(0,1)和b(4,a)在圆上,
所以,
(0-c)^2 + 1 - 2d = 0, c^2 + 1 = 2d, d = (c^2 + 1)/2. ...(1)
(4-c)^2 + a^2 - 2da = 0, ...(2)
将(1)带入(2),有,
(4-c)^2 + a^2 - a(c^2 + 1) = 0,
c^2 - 4c + 4 + a^2 - ac^2 - a = 0,
(1-a)c^2 - 4c + 4 + a^2 - a = 0 ...(3)
因满足条件的圆只有一个,所以关于c的2次方程(3)应该有2个相同的根。
因此,
(-4)^2 - 4(1-a)[4 + a^2 - a] = 0,
4 - (1-a)[4 + a^2 -a] = 0,
4 - [4 + a^2 - a - 4a - a^3 + a^2] = 0,
a^3 - 2a^2 + 5a = 0,
a[a^2 - 2a + 5] = 0,
a[(a-1)^2 + 4] = 0.
所以,a = 0,
这时,(3)式化为,
(1-0)c^2 - 4c + 4 + 0 - 0 = 0,
c^2 - 4c + 4 = 0,
(c - 2)^2 = 0,
c = 2.
再由(1)式,
d = (2^2 + 1)/2 = 5/2.
因此,
圆的方程为,
(x - 2)^2 + (y - 5/2)^2 = (5/2)^2 = 9/4
所以,可设圆的方程为,
(x - c)^2 + (y - d)^2 = d^2,
(x - c)^2 + y^2 - 2dy = 0,
又,a(0,1)和b(4,a)在圆上,
所以,
(0-c)^2 + 1 - 2d = 0, c^2 + 1 = 2d, d = (c^2 + 1)/2. ...(1)
(4-c)^2 + a^2 - 2da = 0, ...(2)
将(1)带入(2),有,
(4-c)^2 + a^2 - a(c^2 + 1) = 0,
c^2 - 4c + 4 + a^2 - ac^2 - a = 0,
(1-a)c^2 - 4c + 4 + a^2 - a = 0 ...(3)
因满足条件的圆只有一个,所以关于c的2次方程(3)应该有2个相同的根。
因此,
(-4)^2 - 4(1-a)[4 + a^2 - a] = 0,
4 - (1-a)[4 + a^2 -a] = 0,
4 - [4 + a^2 - a - 4a - a^3 + a^2] = 0,
a^3 - 2a^2 + 5a = 0,
a[a^2 - 2a + 5] = 0,
a[(a-1)^2 + 4] = 0.
所以,a = 0,
这时,(3)式化为,
(1-0)c^2 - 4c + 4 + 0 - 0 = 0,
c^2 - 4c + 4 = 0,
(c - 2)^2 = 0,
c = 2.
再由(1)式,
d = (2^2 + 1)/2 = 5/2.
因此,
圆的方程为,
(x - 2)^2 + (y - 5/2)^2 = (5/2)^2 = 9/4
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- 1楼网友:我住北渡口
- 2021-05-08 10:04
几何法怎么求
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