觉得答案有问题！！设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵
答案:2 悬赏:80 手机版
解决时间 2021-03-31 16:21
- 提问者网友：缘字诀
- 2021-03-30 22:10
觉得答案有问题！！设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵
最佳答案
- 五星知识达人网友：一秋
- 2021-03-30 22:51
这里用到的是如下结论:
若多项式f(x)满足f(A) = 0, 则A的特征值都是f(x) = 0的根.
取一个特征向量就能证明.
这里没说f(x)是特征多项式, 也没说f(x) = 0的所有根都是A的特征值.追问如果f(x) = 0的所有根并不都是A的特征值.那上面解答A的特征值都是1.就是错的？追答这个逻辑是这样的.
若λ是A的特征值, 则λ是f(x) = 0的解, 又可证λ是实数.
但f(x) = 0的实根只有1, 所以λ只能是1.追问我的意思是fx=0的实根可能不只有1啊！！！题目的条件确定不了追答题目里的f(x) = x^3-2x^2+4x-3.
可分解为(x-1)(x^2-x+3).
x^2-x+3没有实根, 所以f(x)的实根确实只有1.
如果把题目改成f(x) = (x+1)(x^3-2x^2+4x-3).
那么由f(A) = 0不能推出实对称阵A是正定的, A = -E就是反例.
若多项式f(x)满足f(A) = 0, 则A的特征值都是f(x) = 0的根.
取一个特征向量就能证明.
这里没说f(x)是特征多项式, 也没说f(x) = 0的所有根都是A的特征值.追问如果f(x) = 0的所有根并不都是A的特征值.那上面解答A的特征值都是1.就是错的？追答这个逻辑是这样的.
若λ是A的特征值, 则λ是f(x) = 0的解, 又可证λ是实数.
但f(x) = 0的实根只有1, 所以λ只能是1.追问我的意思是fx=0的实根可能不只有1啊！！！题目的条件确定不了追答题目里的f(x) = x^3-2x^2+4x-3.
可分解为(x-1)(x^2-x+3).
x^2-x+3没有实根, 所以f(x)的实根确实只有1.
如果把题目改成f(x) = (x+1)(x^3-2x^2+4x-3).
那么由f(A) = 0不能推出实对称阵A是正定的, A = -E就是反例.
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