定积分方面的问题： 曲线X^（2/3）+y^（2/3）=a^（2/3）的（a>0）的长度为？ 怎么算啊？谢谢各位大虾！

定积分方面的问题： 曲线X^（2/3）+y^（2/3）=a^（2/3）的（a>0）的长度为？ 怎么算啊？谢谢各位大虾！

解答如图。

所求曲线为星形线，可以求出第一象限内的弧长部分，乘以 4 得到其周长。星形线的参数方程是：x=acos³θ，y=asin³θ
[0,π/2] ∫ √(x'²+y'²) dθ = [0,π/2] ∫ √[(-3asinθcos²θ)²+(3asin²θcosθ)²]dθ
=[0,π/2] ∫ 3a√(sin²θcos²θ) dθ
=[0,π/2] ∫ 3a/2 √sin²(2θ) dθ
=[0,π/2] ∫ 3a/2 sin(2θ) dθ
= -∫ 3a/4 cos(2θ)|[0,π/2]
=3a/4 *(cos0-cosπ)
=1.5a
星形线的周长是 4x1.5a=6a追问看懂了，谢谢！