三角形ABC中a2+c2=b2+√2ac 求√2×cosA+cosC最大值
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解决时间 2021-02-18 04:33
- 提问者网友：像風在裏
- 2021-02-17 21:26
三角形ABC中a2+c2=b2+√2ac 求√2×cosA+cosC最大值
最佳答案
- 五星知识达人网友：杯酒困英雄
- 2021-02-17 22:50
依题意，
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=√2/2
∴B=45°
∴A=135°-C
√2·cosA+cosC
=-cosC+sinC+cosC
=sinC
≤1
∴√2·cosA+cosC的最大值为1
【C=90°，A=B=45°时取得】
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=√2/2
∴B=45°
∴A=135°-C
√2·cosA+cosC
=-cosC+sinC+cosC
=sinC
≤1
∴√2·cosA+cosC的最大值为1
【C=90°，A=B=45°时取得】
全部回答
- 1楼网友：老鼠爱大米
- 2021-02-17 23:14
a²+c²=b²+√2ac，
则依余弦定理得
cosb=(a²+c²-b²)/2ac=√2/2
∴b=45°
同时，
√2cosa+cosc
=√2cosa+cos(180°-45°-a)
=√2cosa+cos(135°-a)
=√2cosa+cos135°cosa+sin135°sina
=√2cosa-(√2/2)cosa+(√2/2)sina
=(√2/2)sina+(√2/2)cosa
=sin(a+45°)
∴sin(a+45°)=1，
即a=45°，b=45°，c=90°时，
△abc为等腰直角三角形时，
所求最大值为1。
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