已知函数f（x）=ex（x+a）-x2-bx，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为2x+y-1=0．（Ⅰ）求a、b的

已知函数f（x）=ex（x+a）-x2-bx，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为2x+y-1=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间，并求f（x）的极大值．

（Ⅰ）∵f（x）=ex（x+a）-x2-bx，
∴f′（x）=ex（x+a+1）-2x-b，
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为2x+y-1=0，
∴f（0）=1，f′（0）=-2
∴a=1，b=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=ex（x+1）-x2-4x，f′（x）=（x+2）（ex-2），
令f′（x）=0，得x=ln2或x=-2
∴x∈（-∞，-2）∪（-2，-ln2）时，f′（x）＞0；x∈（-2，ln2）时，f′（x）＜0
∴f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（-2，-ln2），单调减区间是（-2，ln2）
当x=-2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（-2）=4-e-2．

（i）f′（x）=ex（ax+a+b）-2x-4， ∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4， ∴ f′(0)=(a+b)-4=4 f(0)=b=4 ，解得a=b=4． （ii）由（i）可知：f（x）=4ex（x+1）-x2-4x，f′（x）=4ex（x+2）-2x-4=4(x+2)(ex- 1 2 )． 由f′（x）＞0解得x＜-2，x＞-ln2，此时函数f（x）单调递增； 由f′（x）＜0解得-2＜x＜-ln2，此时函数f（x）单调递减． 故当x=-2时，函数f（x）取得极大值，f（-2）=4（1-e-2）．