高等数学里，齐次方程与一阶齐次线性方程有什么区别

高等数学里，齐次方程与一阶齐次线性方程有什么区别

齐次方程 是指可化为 dy/dx = f(y/x) 的一阶微分方程。
一阶齐次线性方程是指可化为 dy/dx + p(x)y = 0 的一阶微分方程。
二者形式和解法都不同。

一阶微分方程的常见形式是y'=f(x,y)的样子。 1、如果右边的函数f(x,y)是零次齐次函数，则这种一阶方程称为一阶齐次型方程。 k次齐次函数指的是存在一个常数k，使得f(tx,ty)=t^k*f(x,y)，比如x+y是一次齐次函数，xy是二次齐次函数。如果k＝0，f(x,y)是零次齐次函数，即f(tx,ty)=f(x,y)，此时f(x,y)=f(x*1,x*y/x)=f(1,y/x)，可写成g(y/x)的结构。 所以一阶齐次方程的常见形式是y'=g(y/x)的样子。 2、如果右边的函数f(x,y)是关于y的线性函数P(x)y+Q(x)，则称微分方程y'=P(x)y+Q(x)为一阶线性方程，与y完全无关的项Q(x)=0时为齐次线性方程，Q(x)≠0时为非齐次线性方程。 两者的交叉就是P(x)=a/x，Q(x)=0，其中a为非零常数的时候。

"齐次"表示各个未知数的次数是相同的.例如y/x+x/y+a＝1等，它们的右端,都是未知数的齐次函数或齐次多项式 一阶线性微分方程，定义：形如y'+p(x)y=q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，q(x)称为自由项。（这里所谓的一阶，指的是方程对于未知函数y及其导数是一次方程。） 当q(x)≡0时，方程为y'+p(x)y=0，这时称方程为一阶齐次线性方程。（这里所谓的齐次，指的是方程的每一项关于y、y'、y"等的次数。因为y'和p(x)y都是一次的，所以为齐次。） 当q(x)≠0时，称方程y'+p(x)y=q(x)为一阶非齐次线性方程。（由于q(x)中未含y及其导数，所以是关于y及其各阶导数的0次项，因为方程中含一次项又含0次项，所以为非齐次。） 一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法。