在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．（1）若sinC+sin（B-A）=sin2A，试判断△ABC的形状；（2

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解决时间 2021-01-05 00:56

提问者网友：佞臣
2021-01-04 03:08

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．（1）若sinC+sin（B-A）=sin2A，试判断△ABC的形状；（2）若△ABC的面积S=3 3 ，且c= 13 ，C= π 3 ，求a，b的值．

最佳答案

五星知识达人网友：十鸦
2021-01-04 03:46

（1）∵sinC+sin（B-A）=sin2A，且sinC=sin（A+B），
∴sin（B+A）+sin（B-A）=sin2A，即2sinBcosA=2sinAcosA，
∴cosA（sinB-sinA）=0，
∴cosA=0或sinB=sinA，
∵A与B都为三角形的内角，
∴A=
π
2 或A=B，
则△ABC为直角三角形或等腰三角形；
（2）∵△ABC的面积为3

3 ，c=

13 ，C=
π
3 ，
∴
1
2 absinC=

3
4 ab=3

3 ，即ab=12①，
由余弦定理c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC得：13=a 2 +b 2 -ab，即a 2 +b 2 =25②，
联立①②解得：a=4，b=3或a=3，b=4．

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1楼网友：想偏头吻你
2021-01-04 04:15

解：
等式左边 = sin(a+b) + sin(b-a) (利用c = π-a-b)
 = 2sinbcosa (和差化积公式，或者直接展开)；
等式右边 = 2sin2a = 4sinacosa （正弦2倍角公式）
左边=右边，推出： 
sinb = 2sina，于是根据正弦定理，角度对应的边长肯定也服从相同的关系：
b = 2a。根据余弦定理，
c = 2 = sqrt (a^2 + b^2 - 2abcosc)
 = sqrt (a^2 + 4a^2 - 2a*2a*1/2) （代入b = 2a，以及c = π/3）
 = sqrt (3a^2) = sqrt(3) * a
于是 a = 2/sqrt(3)，b = 4/sqrt(3)，三角形面积s为
s = 1/2 ab sinc = 1/2*8/3*sqrt(3)/2 = 2sqrt(3) / 3
不好意思漏解了，多谢楼上提醒。我一开始化简的时候得到：
2sinbcosa = 4sinacosa，除了sinb = 2sina这个情况外，还可以有cosa = 0.
这种情况下的解楼上都算出来了，由于角a是90度，所以面积
s = 1/2 bc = 1/2 * 2 * 2/sqrt(3) = 2sqrt(3)/3。和第一种情况的面积一样，只是a,b的长度调换了位置。

（上面所有的sqrt都是开方的意思）

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