三角函数有理式

三角函数有理式

三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数。由于各种三角函数都可用s¡nx 和cosx的有理式表示，记做ƒ(s¡nx，cosx)。三角函数有理式积分都可以化为有理函数的积分。
下面分类给出将三角函数有理式积分化为有理函数的积分方法
1 、可化为∫ƒ(s¡nx) cosxdx；∫ƒ(cosx)s¡nxdx；
∫ƒ(tanx)sec2xdx； ∫ƒ(cotx)csc2xdx 型积分
可令t=s¡nx ，t=cosx，t=tanx，t=cotx 化为有理函数积分
如∫cos2xs¡n3xdx=∫cos2x(1-cos2x)s¡nxdx
=∫ƒ(cosx)s¡nxdx
=∫ƒ(t)dt (令t=cosx)
∫sec4xdx=∫(1+tan2x)sec2xdx
=∫ƒ(tanx)sec2xdx
=∫ƒ(t)dt (令t=tanx)
2 、若ƒ(s¡nx，cosx)= ƒ(-s¡nx，-cosx)
可令t=tanx 得有理函数积分
如 ∫a2sin2x+b2cos2x(1)dx
=∫（a2tan2x+b2）cos2x(1)dx
=∫g(t)dt (令t=tanx)
3、一般ƒ(s¡nx，cosx)型，可采用万能置换公式化为有理函数积分
令t=tan 2(x)则 sinx= 1+t2(2t) cosx= 1+t2(1-t2) dx= 1+t2(2)dx
如 ∫1+cosx(1-cosx)dx
=∫1+t2(2t2)dt =∫g(t)dt

解：∫sinxcosx/(sinx+cosx)dx
=1/2∫[(sinx+cosx)^2-1]/(sinx+cosx)dx
=1/2*∫(sinx+cosx)-1/(sinx+cosx)dx
将sinx+cosx化为√2sin(π/4+x)即可

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