设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,证明:∫(-1,2)f(x)dx=1/2[f(1)+f(2)]-1/2∫(1,2)(2-x)(x-1)f"(x)dx

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解决时间 2021-02-01 18:58

提问者网友：鼻尖触碰
2021-02-01 09:09

设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,证明: ∫ (-1,2)f(x)dx=1/2[f(1)+f(2)]-1/2∫(1,2)(2-x)(x-1)f"(x)dx

最佳答案

五星知识达人网友：一叶十三刺
2021-02-01 09:55

用分部积分法.
∫^(0,1)x(1-x)f"(x)dx (u= x(1-x) v'= f''(x) u' =1-2x v= f'(x)
=[x(1-x) f'(x) ] (0,1) - ∫^(0,1)(1-2x)f'(x)dx 再设u1= 1-2x v1 = f'(x) (u1)' =-2 (v1)'= f(x)
= 0 - (1- 2x) f(x) (0,1) - 2 ∫^(0,1)f(x)dx
=f(1) +f(0) -2 ∫^(0,1)fx)dx
移项,整理即得:：∫^(0,1)f(x)dx=1/2 (f(0)+f(1))- 1/2 ∫^(0,1)x(1-x)f"(x)
其中:[x(1-x) f'(x) ] (0,1) 表示:函数[x(1-x) f'(x) ] 在x=1的值减去它在 x=0的值.另处类似.
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1楼网友：琴狂剑也妄
2021-02-01 10:51

好复杂不会望谅解

2楼网友：青尢
2021-02-01 10:18

用分部积分法. ∫^(0,1)x(1-x)f"(x)dx (u= x(1-x) v'= f''(x) u' =1-2x v= f'(x) =[x(1-x) f'(x) ] (0,1) - ∫^(0,1)(1-2x)f'(x)dx 再设u1= 1-2x v1 = f'(x) (u1)' =-2 (v1)'= f(x) = 0 - (1- 2x) f(x) (0,1) - 2 ∫^(0,1)f(x)dx =f(1) +f(0) -2 ∫^(0,1)fx)dx 移项,整理即得:：∫^(0,1)f(x)dx=1/2 (f(0)+f(1))- 1/2 ∫^(0,1)x(1-x)f"(x) 其中:[x(1-x) f'(x) ] (0,1) 表示:函数[x(1-x) f'(x) ] 在x=1的值减去它在 x=0的值.另处类似.

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