求lim(sin3x-3sinx)/x的4次方。x趋近于0
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解决时间 2021-12-02 07:16
- 提问者网友：你给我的爱
- 2021-12-01 23:24
求lim(sin3x-3sinx)/x的4次方。x趋近于0
最佳答案
- 五星知识达人网友：十年萤火照君眠
- 2021-12-02 00:07
方法一：反复应用洛必达法则
(x→0) lim (sin3x-3sinx)/x^4
=(x→0) lim (3cos3x-3cosx)/4x³
=(x→0) lim (-9sin3x+3sinx)/12x²
=(x→0) lim (-27cos3x+3cosx)/24x
=(x→0) lim (-27+3)/24x
=(x→0) lim -1/x
(x→0-) lim -1/x = +∞
(x→0+) lim -1/x = -∞
原式在 x→0 时不存在极限
-------------------------------------------------------
方法二：利用三角函数化简和基本极限(x→0) lim sinx/x
(x→0) lim (sin3x-3sinx)/x^4
=(x→0) lim (3sinx-4sin³x-3sinx)/x^4
=(x→0) lim -4sin³x/x^4
=(x→0) lim (sinx/x)³ * (x→0) lim -4/x
=(x→0) lim -4/x 是发散的，原式无极限
注：sin3x=sin(x+2x)=sinxcos2x+cosxsin2x=sinx(1-2sin²x)+cosx*2sinxcosx
=sinx-2sin³x+2sinx(1-sin²x)=3sinx-4sin³x
(x→0) lim (sin3x-3sinx)/x^4
=(x→0) lim (3cos3x-3cosx)/4x³
=(x→0) lim (-9sin3x+3sinx)/12x²
=(x→0) lim (-27cos3x+3cosx)/24x
=(x→0) lim (-27+3)/24x
=(x→0) lim -1/x
(x→0-) lim -1/x = +∞
(x→0+) lim -1/x = -∞
原式在 x→0 时不存在极限
-------------------------------------------------------
方法二：利用三角函数化简和基本极限(x→0) lim sinx/x
(x→0) lim (sin3x-3sinx)/x^4
=(x→0) lim (3sinx-4sin³x-3sinx)/x^4
=(x→0) lim -4sin³x/x^4
=(x→0) lim (sinx/x)³ * (x→0) lim -4/x
=(x→0) lim -4/x 是发散的，原式无极限
注：sin3x=sin(x+2x)=sinxcos2x+cosxsin2x=sinx(1-2sin²x)+cosx*2sinxcosx
=sinx-2sin³x+2sinx(1-sin²x)=3sinx-4sin³x
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