请问 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 如何证明呢？我已冥思苦想

请问 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 如何证明呢？我已冥思苦想

1^2+2^2+3^2+……+n^2
=1*2-1+2*3-2+3*4-3+……+n(n+1)-n
=(1*2+2*3+3*4+……+n(n+1))-(1+2+3+……+n)
=n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2
=n(n+1)(2n+1)/6追答如果不知道(1*2+2*3+3*4+……+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)/3
与
(1+2+3+……+n)=n(n+1)/2可以追问追问(1*2+2*3+3*4+……+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
这个怎么来的？追答稍等1*2+2*3+3*4+……+n(n+1)
=(1*2*3-0*1*2)/3+(2*3*4-1*2*3)/3+(3*4*3-2*3*4)/3+……(n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1))/3
=n(n+1)(n+2)/3打错了一个字，改:1*2+2*3+3*4+……+n(n+1)
=(1*2*3-0*1*2)/3+(2*3*4-1*2*3)/3+(3*4*5-2*3*4)/3+……(n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1))/3
=n(n+1)(n+2)/3追问好厉害~可以说说是怎么从
1*2+2*3+……+n(n+1)
想到变形成
(1*2*3-0*1*2)/3+(2*3*4-1*2*3)/3+……(n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1))/3
的么？追答朝"裂项，逐项抵消”方向思考追问谢谢~

归纳法追问能说具体点么？谢谢追答n=1，成立
设n=k，成立
证明n=k+1成立即可追问如果只是从左边推到右边呢？怎么做~追答不能这样做题的左边是无限多的表达式追问好吧，谢谢~追答不谢追问我先看看其它的回答吧追答随意

那个表示二次方
那个等于n(n+1)(2n+1)/6
证明：1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=?
解：利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+******+n^3=n^2(n+1)^2/4
类似的利用恒等式
(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1
得
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1
...........
2^4-1^4=4+6+4+1
n个等式两边相加得
(n+1)^-1^4=4(1^3+2^3+ ....+n^3)+6*(1^2+2^2+ ....+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
代入1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 及1+2+3+...+n=(n+1)n/2
整理得
4(1^3+2^3+ ....+n^3)=(n+1)^4-1-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n
4(1^3+2^3+ ....+n^3)=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-1-2n^3-3n^2-n-2n^2-2n-n
4(1^3+2^3+ ....+n^3)=n^4+2n^3+n^2
(1^3+2^3+ ....+n^3)=n^2(n^2+2n+1)/4
=n^2(n+1)^2/4
摘抄他人答案。。。追问谢谢啊不过你真诚实追答谢谢采纳吗？追问考虑考虑。。。因为有另一个人也在回答，正在想采纳哪个好