观察给出的下列各式：（1）tan10°?tan20°+tan20°?tan60°+tan60°?tan10°=1；（2）tan5°?tan15°+ta
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解决时间 2021-04-15 03:15
- 提问者网友：记得曾经
- 2021-04-14 04:07
观察给出的下列各式：（1）tan10°?tan20°+tan20°?tan60°+tan60°?tan10°=1；（2）tan5°?tan15°+tan15°?tan70°+tan70°?tan5°=1．由以上两式成立，你能得到一个什么样的推广？证明你的结论．
最佳答案
- 五星知识达人网友：一叶十三刺
- 2021-04-14 04:58
可以观察到：10°+20°+60°=90°，5°+15°+70°=90°，
故可以猜想此推广式为：若α+β+γ＝
π
2 ，且α，β，γ都不等于kπ+
π
2 (k∈Z)，
则有tanα?tanβ+tanβ?tanγ+tanγ?tanα=1．
证明：∵α+β+γ＝
π
2 ，∴α+β=-γ，
∴tan（α+β）=tan（-γ）=cotγ，
∴tanα+tanβ=cotγ（1-tanαtanβ），
∴tanα?tanβ+tanβ?tanγ+tanγ?tanα=1．
故可以猜想此推广式为：若α+β+γ＝
π
2 ，且α，β，γ都不等于kπ+
π
2 (k∈Z)，
则有tanα?tanβ+tanβ?tanγ+tanγ?tanα=1．
证明：∵α+β+γ＝
π
2 ，∴α+β=-γ，
∴tan（α+β）=tan（-γ）=cotγ，
∴tanα+tanβ=cotγ（1-tanαtanβ），
∴tanα?tanβ+tanβ?tanγ+tanγ?tanα=1．
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