在三角形ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c已知a2+c2=2b2若b=2求三角形面积最大值?

在三角形ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c已知a2+c2=2b2若b=2求三角形面积最大值?

解:("代表平方,【x】代表根号x)因为a"+c"=2b"
由余弦定理,得:
cosB=a"+c"-b"/2ac=b"/2ac=2/ac
又 sin"B+cos"B=1
因为B€(0,180*)
所以 sinB=【a"c"-4】/ac
所以S=ac.sinB/2=【(ac)"-4】/2
由a"+b">=2ac得:
ac<=a"+c"/2=b"
所以 S=【(ac)"-4】/2<=【(b")"-4】/2=【16-4】/2=2【3】/2=【3】
即三角形ABC的最大面积为根号3.

根号3

a²+c²=2b²=8

余弦定理 cosB=(a²+c²-b²)/2ac=(8-4)/2ac=2/ac

∴sinB=√(1-cos²B)=√(1-4/a²c²)

∴S△ABC=(1/2)acsinB=(1/2)ac×√(1-4/a²c²)=(1/2)√(a²c²-4)

∵8=a²+c²>=2ac

∴ac<=4,a²c²<=16

∴a²c²-4<=16-4=12

∴S△ABC=(1/2)√(a²c²-4)<=(1/2)√12=√3

即三角形面积最大为√3