工程测量中如何算元曲线和缓和曲线上的任意一点坐标,公式~!

工程测量中如何算元曲线和缓和曲线上的任意一点坐标,公式~!

随着交通运输事业的发展，高等级公路、城市立交桥建设的需要，曲线桥梁在中国
发展起来。曲线桥梁的理论分析计算方面，中国不少院校、科研单位进行了一些理论研
究与探索。但目前很少看到有关曲线桥梁的几何设计计算资料，这给桥梁设计者及施工
技术人员在设计、施工中带来许多困难。
　　曲线桥梁常用的曲线形状，有圆曲线和缓和曲线。对于圆曲线，桥梁中线以及桥梁
内外边缘线均为一同心圆曲线，几何设计计算较为简单，而对于缓和曲线段，桥梁中线
为缓和曲线，但对边缘线、栏杆轴线及主梁边腹板曲线等是随中线曲率变化的1条渐变曲
率曲线，而不再是缓和曲线。在过去的设计中，对缓和段上述特征曲线的计算，是近似
按缓和曲线来计算，这对于曲率大、曲线段较长的情况，误差会很大，特别是对有加宽
、超高的缓和段，误差更不可忽视。以往设计主梁钢筋骨架时，按缓和曲线计算，则骨
架出现过长或过短的情况。本文以缓和曲线长度作为参数，提出了弯桥缓和段特征曲线
的几何计算式及超高计算式。
1　缓和段特征曲线几何设计计算
1.1　缓和曲线的坐标、切线角
　　对缓和曲线(桥中线)上任一点M(x,y)，如图1所示，相应的坐标、切线角β为
　　　　(1)
式中：l为任意点M至原点0(即ZH点)的曲线长；R为缓和曲线终点的曲率半径；ls为缓和
曲线全长。
图1　缓和曲线
1.2　平行于内(外)边缘线曲线的参数方程
　　对于一般加宽，可在缓和曲线范围内完成。设自ZH点开始，桥梁内、外侧沿缓和曲
线长按线性加宽。平行于内侧边缘线的曲线A1B1上任一点M1(x1,y1)在缓和曲线上点M(x
,y)处的曲率半径上，且设M1N1=d1，如图2所示。由几何关系可得
　　　　(2)
式中：b1(l)为M、N1之间的距离，即点M处桥内侧宽度，可按下式计算
式中：b1(0)、b1(ls)分别为缓和段起点和终点桥中线至内侧边缘宽度；其它符号意义同
前。
图2　平行于内、外边缘线曲线参数方程计算图式
　　将式(2)中sinβ、cosβ分别以级数表示，即
　　将上式及式(1)代入式(2)并略去高阶项后得曲线A1B1的参数方程
　　　　(3)
　　同理，可得平行于外侧边缘线曲线A2B2参数方程
　　　　(4)
式中：d2为曲线A2B2与外边缘线间的距离；b2(l)为缓和曲线长l处外侧桥宽，计算式为

　　　　(5)
式中：b2(0)、b2(ls)分别为缓和段起点和终点中线至外侧边缘宽度；其它符号意义同前
。
　　从式(3)、(4)可以看到：当di=0(i=1,2)，方程则为内、外边缘线参数方程；当bi(
l)=ci(常数，i=1,2)，式(3)、(4)则为未加宽平行于边缘线(或桥中线)曲线的参数方程
。当bi(l)=ci，且di=0,式(3)、(4)即为文献［1］、［2］导出的计算机处理的边缘线曲
线拟合方法，仅是本计算方法的1个特例。
1.3　平行内(外)边缘线曲线的弧长计算
　　以曲线A1B1上任意一段弧长为例，将式(3)中2个方程等式2边分别对l求导得
则所求弧长S为
　　经积分变换，利用Gauss-legerdre求积公式可得
　　　　(6)
式中：ti为legerdre　n+1次多项式pn+1(t)的零点；Ai为求积系数；
　　同理，可推导出曲线A2B2上任一段弧长的计算式，这里不再赘述。
2　缓和段超高计算
　　如图3所示，A、C分别是缓和段起点和终点，A点处桥面路拱与直线段路拱一致，即
为双坡横断面，坡度为i(0)。设自A点开始，路拱双坡外侧逐渐提高，到达B点时与内侧
成通坡，其坡度为i(lt)。自B点起，逐渐提高桥面单坡坡度，一直到缓和曲线终点c时提
高到i(ls)。图中lt为缓和段起点到通坡断面间的距离，即为曲线AB的长度。
图3　缓和曲线段起高计算图式
2.1　超高段拱坡坡度计算
　　缓和段上的超高值与缓和段起点的距离成正比变化，因此，缓和段的超高计算式如
下
i(l)=i(0)内侧
　　　　(7)
式中：i(t)=i(0)；lt计算式为
　　　　(8)
2.2　超高计算
　　对于超高缓和段的形成过程常用绕桥面内侧边缘旋转的形式，如图3所示。现以此形
式推导加宽缓和段超高计算式。
　　超高计算图式如图4所示。图4中横轴为缓和曲线的法向，其正半轴一方的区域为外
侧，负半轴一方区域为内侧。
图4　超高计算图式
令　　　　b(0)=min［b1(0),b2(0)］
于是，缓和曲线长l处的法向断面上任一点k处的超高Δh(l)计算式如下
　　内侧超高Δh(l)计算式为
　　　　(9)
　　外侧超高计算式为
　　　　(10)
若fk=0，则式(9)、(10)中的超高即为缓和曲线(桥中线)的超高计算式
3　算例与结论
　　某桥位于缓和曲线路段上，缓和曲线全长ls=100 m，圆曲线半径R=200 m，路基宽B
=11 m，半幅宽5.5 m，桥梁起点位于缓和曲线长25.15 m处，终点位于缓和曲线长70.15
m处，路基加宽值为0.8 m(内侧加宽)。求桥内外侧边缘线的长度。用本文计算方法及用
文献［2］方法计算的结果列入表1中。
表1　内、外侧边缘线的计算长度表
边缘线
部位
弧长／m 注
本文方法
计算结果 文献［2］计算结果
N=10 N=100
内侧 44.577 89 44.577 7 44.577 9 用本文方法计算，
求积公式n取2
外侧 45.799 92 45.799 6 45.799 8
　
　　比较上表结果，用本文方法，当n=2时计算结果与文献［2］将所求弧段分为100段时
算出的结果接近。显然，用本文方法计算弧长不仅公式简洁、方便，而且精度高。
　　本文所述曲线桥梁缓和段的几何设计计算方法具有很高的实用价值。既无图解法(文
献［1］)的近似估算，又无以弦代弧(文献［2］)的高次迭代缺点。它具有明确的几何概
念，公式简洁，方法简便。可广泛应用在曲桥设计过程中的构造尺寸计算、纵横坡度计
算、有限元结点划分、钢筋(骨架)长度计算以及结构体积计算等。在施工方面，方便模
板放样及测量数据分析计算等。在无计算机的情况下，本方法无疑为首选方法。作者已
根据本文所阐述的方法编制了通用设计程序，设计了多座弯桥并经施工证明了本方法的
可靠，取得了很好的效果。