求锡瓦定理证明

锡瓦定理是什么?

如何证明锡瓦定理？

应是塞瓦定理，音译问题

塞瓦定理　　 塞瓦定理
　　在△ABC内任取一点O，
　　直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
　　证法简介
　　（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
　　∵△ADC被直线BOE所截，
　　∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
　　而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
　　②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
　　（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
　　同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
　　③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
　　设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
　　根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
　　可用塞瓦定理证明的其他定理;
　　三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1
　　且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点
　　此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：
　　在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）
　　塞瓦定理推论：
　　设E是△ABD内任意一点，
　　AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则 (BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）
　　则 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）
　　由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1
　　所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1（塞瓦定理推论）
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