设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0；f（1）=-2．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0；f（1）=-2．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并证明；
（3）求使2≤|f（x）|≤6成立的x的取值范围．

解：（1）证明：令x=y=0，则有f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）在定义域内任取x1＜x2，则x2-x1＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x2-x1）＜0，
又∵f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）=-f（x2-x1）＞0．
∴f（x1）＞f（x2），
∴y=f（x）在R上为减函数．
（3）∵f（1）=-2，
∴根据题意可得：f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，
∴根据函数的奇偶性可得：f（-1）=-f（1）=2，f（-3）=6，
∵2≤|f（x）|≤6，
∴-6≤f（x）≤-2，或2≤f（x）≤6???????????????????
∴f（3）=-6≤f（x）≤-2=f（1），f（-1）=2≤f（x）≤6=f（-3）
又∵f（x）是R上的减函数．
∴1≤x≤3或-3≤x≤-1，
∴x的取值范围为[-3，-1]∪[1，3]．解析分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0，再令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x），进而根据奇函数的定义得到函数的奇偶性．
（2）在定义域内任取x1＜x2，则x2-x1＞0，可得f（x2-x1）＜0，再根据题意可得：f（x1）-f（x2）=-f（x2-x1）＞0，进而根据减函数的定义得到

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