已知函数f(x)=(x^2+ 2x+ a)/x,x属于[1,正无穷)
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解决时间 2021-11-18 20:38
- 提问者网友:暗中人
- 2021-11-18 06:46
已知函数f(x)=(x^2+ 2x+ a)/x,x属于[1,正无穷)
最佳答案
- 五星知识达人网友:行雁书
- 2021-11-18 07:56
f(x)=(x²+2x+a)/x=x+2+(a/x)
1)当a=1/2时,f(x)=x+2+(1/2x)
设1≤x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1+2+(1/2x1)-x2-2-(1/2x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/(2x1x2)=(x1-x2)[1- 1/(2x1x2)]
∵1≤x1<x2,∴2x1x2>2
∴1/(2x1x2)<1,∴1- 1/(2x1x2)>0又x1-x2<0
∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x)在[1,+∞)上是增函数;
∴当x=1时,f(x)=x+2+(1/2x)取得最小值为:f(1)=7/2
2)f(x)=(x²+2x+a)/x>0
∵x≥1,
∴(x²+2x+a)/x>0等价于:x²+2x+a>0
∴a>-x²-2x=-(x+1)²+1恒成立;
又x≥1,∴-(x+1)²+1≤-3;
要使得a>-(x+1)²+1恒成立;
则需a>-3;
1)当a=1/2时,f(x)=x+2+(1/2x)
设1≤x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1+2+(1/2x1)-x2-2-(1/2x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/(2x1x2)=(x1-x2)[1- 1/(2x1x2)]
∵1≤x1<x2,∴2x1x2>2
∴1/(2x1x2)<1,∴1- 1/(2x1x2)>0又x1-x2<0
∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x)在[1,+∞)上是增函数;
∴当x=1时,f(x)=x+2+(1/2x)取得最小值为:f(1)=7/2
2)f(x)=(x²+2x+a)/x>0
∵x≥1,
∴(x²+2x+a)/x>0等价于:x²+2x+a>0
∴a>-x²-2x=-(x+1)²+1恒成立;
又x≥1,∴-(x+1)²+1≤-3;
要使得a>-(x+1)²+1恒成立;
则需a>-3;
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- 1楼网友:持酒劝斜阳
- 2021-11-18 08:49
第一问带入a,利用均值不等式求解
第二问由题意等价于求a>-(x^2+ 2x)对于x属于[1,正无穷)恒成立,只要a大于-(x^2+ 2x)在[1,正无穷)上的最大值即可
第二问由题意等价于求a>-(x^2+ 2x)对于x属于[1,正无穷)恒成立,只要a大于-(x^2+ 2x)在[1,正无穷)上的最大值即可
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