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如图所示,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1. (1)试建立适当的坐标系

答案:1  悬赏:70  手机版
解决时间 2021-11-16 12:39
如图所示,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1. (1)试建立适当的坐标系
最佳答案
(1)P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,a,0).(2)a≥0.(3) .


试题分析:(1)以A为坐标原点,AB、AD、AP分
别为x、y、z轴建立坐标系如图所示.∵PA=AB=1,BC=a,∴P(0,0,1),B(1,1,0),
D(0,a,0).

(2)设点Q(1,x,0),则 .
由 ,得x 2 -ax+1=0.
显然当该方程有实数解时,BC边上才存在点Q,使得PQ⊥QD,故⊿=a 2 -4≥0.
因a>0,故a的取值范围为a≥0.
(3)易见,当a=2时,BC上仅有一点满足题意,此时x=1,即Q为BC的中点.
取AD的中点M,过M作MN⊥PD,垂足为N,连结QM、QN.则M(0,1,0),P(0,0,1),D(0,2,0).
∵D、N、P三点共线,∴ .
又 ,且 ,
故 .于是 .
故 .
∵ ,∴ .∴∠MNQ为所求二面角的平面角.
∵ ,∴所求二面角为 .
点评:空间向量就是一把解决立体几何问题的钥匙,利用向量解答立体几何问题实现了形向数的转化,降低了问题解决的难度
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