若已知正四棱锥S-ABCD中，SA=2√3，那么当该棱锥体积最大时，高为多少？...3Q

若已知正四棱锥S-ABCD中，SA=2√3，那么当该棱锥体积最大时，高为多少？...3Q

设底正方形边长为2x,正四棱锥高为SH,H为底正方形对角线交点，
则对角线为2√2x,AH=√2x，
SH=√（SA^3-AH^2)=√(12-2x^2),
S正方形ABCD=4x^2,
VS-ABCD=[4x^2√(12-2x^2)]/3,
为求出函数极值，对函数求一阶导数，令其为0，求出驻点，
V'(x)=(8x/3)√(12-2x^2)+4x^2*(1/2)(12-2x^2)^(-1/2)(-4x)/3
=(8x/3)√(12-2x^2)-8x^3/√(12-2x^2)
=0,
x=±2，舍去负值，x=2,
当x<2时，V'(x)>0,而当x>2时，V'(x)<0,
故当x=2时有极大值，
底边长为4，AH=2√2，
高SH=√（12-8）=2。
当高为2时体积最大，为32/3。

设高为h，底边为a

12=(2√3)²=h²+(√2a/2)²=h²+a²/2→a²=24-2h²

V=a²h/3=(24-2h²)h/3→3V/2=12h-h³

设0=(3V/2)′=(12h-h³)=12-3h²=3(2+h)(2-h)→h=2