一道高二“椭圆”的数学题？

已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1垂直于F1A，PO//AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。

请帮忙写出过程，谢谢喽！

两个三角形相似（直角+平行）

PF1/F1O=BO/OA PF1=b^2/a

OA为半长轴长为a

CF1为半焦距

b^2/a /c=b/a

b=c

a^2=b^2+c^2=2c^2

e=c/a=√c^2/2c^2=√1/2=√2/2

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1

则A（a,0) B(0,b) F1(-c,0)

将 x= -c代入椭圆方程得y^2=b^4/a^2 所以P点坐标为（ -c,b^2/a)

PO斜率=-b^2/ac AB斜率=-b/a

所以-b^2/ac =-b/a 解得b=c

a=根号下（b^2+c^2)=根号2*c

e=c/a= 根号2

设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,F1(-c,0),---->P(-c,b√(1-c^2/a^2)) P(-c,-b√(1-c^2/a^2))（ 舍）

kop=b√(1-c^2/a^2)/-c kAB=-b/a

kop=kab--------->e=√(1-e^2)

----->e=√2/2