高二数学均值不等式1
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解决时间 2021-05-04 09:32
- 提问者网友：棒棒糖
- 2021-05-04 01:58
高二数学均值不等式1
最佳答案
- 五星知识达人网友：冷風如刀
- 2021-05-04 02:44
此题有问题。
当a=b时，a^3 - b^3 = 0，a^2 - b^2 = 0，a^3 - b^3 = a^2 - b^2 恒成立，此时a+b=2a可以取任意正值；
当a≠b时，可证1 < a+b <= 4/3。
证明：∵a^3 - b^3 = a^2 - b^2
∴(a-b)(a^2+ab+b^2) = (a-b)(a+b)
又 a≠b，a-b≠0
∴a^2+ab+b^2=a+b
即(a+b)^2 - ab = a+b
ab = (a+b)^2-(a+b)
∵ √ab<=(a+b)/2，当且仅当a=b时取等号。
∴ab <= ((a+b)/2)^2
∴(a+b)^2-(a+b) <= (a+b)^2 / 4
即(a+b)(3*(a+b)-4) <= 0
∴0<=a+b<=4/3
∵a,b>0, ab = (a+b)^2-(a+b)>0
∴(a+b)(a+b-1)>0, a,b>0
∴a+b>1
∴ 1<a+b<=4/3
当a=b时，a^3 - b^3 = 0，a^2 - b^2 = 0，a^3 - b^3 = a^2 - b^2 恒成立，此时a+b=2a可以取任意正值；
当a≠b时，可证1 < a+b <= 4/3。
证明：∵a^3 - b^3 = a^2 - b^2
∴(a-b)(a^2+ab+b^2) = (a-b)(a+b)
又 a≠b，a-b≠0
∴a^2+ab+b^2=a+b
即(a+b)^2 - ab = a+b
ab = (a+b)^2-(a+b)
∵ √ab<=(a+b)/2，当且仅当a=b时取等号。
∴ab <= ((a+b)/2)^2
∴(a+b)^2-(a+b) <= (a+b)^2 / 4
即(a+b)(3*(a+b)-4) <= 0
∴0<=a+b<=4/3
∵a,b>0, ab = (a+b)^2-(a+b)>0
∴(a+b)(a+b-1)>0, a,b>0
∴a+b>1
∴ 1<a+b<=4/3
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