急！求解 微积分 ∫根号下(x^2+1) dx

急！求解 微积分 ∫根号下(x^2+1) dx

积分:根号(x^2+1)dx

思路:分部积分法很有用!

=x*根号(x^2+1)-积分:xd(根号(x^2+1))
=x根号(X^2+1)-积分:x^2/根号(x^2+1)dx
=x根号(x^2+1)-积分:(x^2+1-1)/根号(x^2+1)dx
=x根号(x^2+1)-积分:根号(x^2+1)+积分:dx/根号(x^2+1)

先求:积分:dx/根号(x^2+1)
令x=tant
dx=d(tant)=sec^2tdt

原式
=积分:sec^2tdt/sect
=积分:sectdt
=积分:cost/cos^2tdx
=积分:d(sinx)/(1-sin^2x)
=1/2ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
x=tant代入有:
=ln|x+根号(x^2+1)|+C

令原来的积分是Q
Q==x根号(x^2+1)-Q+积分:dx/根号(x^2+1)
2Q=x根号(x^2+1)+ln|x+根号(x^2+1)|+C
所以

Q=1/2[x根号(X+1)+ln|x+根号(x^2+1)|+C
(C 是常数)

=X^3/3+X+C (C为任意常数)

三角代换，令x=tana

三角代换，令x=tana

三角换元令x=tant,则原式=∫sectdtant=∫sec^3tdt
=secttant－∫tantdsect
=secttant－∫tan^2tsectdt
=secttant－∫(sec^2t－1）sectdt
=secttant－∫sec^3tdt+∫sectdt
所以原式=∫sec^3tdt=(1/2)secttant+（1/2)∫sectdt
=(1/2)secttant+（1/2)ln|sect+tant|+C
=(1/2)x√(x^2+1)+(1/2)ln|x+√(x^2+1)|+C(C为任意常数）