在平面直角坐标系xOy中有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点

在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点，离心率为√3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB，求： （1)点M的轨迹方程; (2)向量OM的最小值. 要过程谢谢 答案：1/x^2+4/y^2=1 9

直线l  y=x交于（a,3）a=3k=9y=9/x

解：（I）椭圆方程可写为：y2/a2+x2/b2=1式中a＞b＞0，且a2-b2=3 ；√3/a=√3/2得a2=4，b2=1， 所以曲线C的方程为：x2+y2/4=1（x＞0，y＞0）．y=2√(1-x2)（0＜x＜1）y'=-2x/√(1-x2) 设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2√(1-x 0平方) ，y'|x=x0=-4x0/y0 ，得切线AB的方程为：y=-4x0/y0（x-x0）+y0． 设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=1/x0 ，y=4/y0 ． 由向量OM=向量OA+向量OB 得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：1/x2+4/y2=1（x＞1，y＞2） （Ⅱ）| 向量OM |2=x2+y2，y2=4/(1-1/x2)=4+4/(x2-1)， ∴| 向量OM |2=x2-1+4/(x2-1)+5≥4+5=9． 且当x2-1=4/(x2-1)，即x=√3＞1时，上式取等号． 故| 向量OM |的最小值为3．

 1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得； （2）先将| 向量OM |用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可． 解：（I）椭圆方程可写为：y2/a2+x2/b2=1式中a＞b＞0，且a2-b2=3 ；√3/a=√3/2得a2=4，b2=1， 所以曲线C的方程为：x2+y2/4=1（x＞0，y＞0）．y=2√(1-x2)（0＜x＜1）y'=-2x/√(1-x2) 设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2√(1-x 0平方) ，y'|x=x0=-4x0/y0 ，得切线AB的方程为：y=-4x0/y0（x-x0）+y0． 设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=1/x0 ，y=4/y0 ． 由向量OM=向量OA+向量OB 得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：1/x2+4/y2=1（x＞1，y＞2） （Ⅱ）| 向量OM |2=x2+y2，y2=4/(1-1/x2)=4+4/(x2-1)， ∴| 向量OM |2=x2-1+4/(x2-1)+5≥4+5=9． 且当x2-1=4/(x2-1)，即x=√3＞1时，上式取等号． 故| 向量OM |的最小值为3． 赞同2|评论