分母是165的最简真分数有多少啊

分母是165的最简真分数有多少啊

分母为165的真分数有164个。（分子从1到164）

165 =3*5*11
所以，分子为3、5、11的倍数，就不是最简真分数。

分子为3的倍数，有：165/3 -1 =54个。（分子为3，6，9，...，162）
分子为5的倍数，有：165/5 -1 =32个。（分子为5，10，15，...160）
分子为11的倍数，有：165/11 -1 =14个。（分子为11，22，33，...154）

分子同时为3和5的倍数，有：165/15 -1 =10个（分子为15，30，45，...，150。它们被减掉两次，所以应加上）
分子同时为5和11的倍数，有：165/55 -1=2个（分子为55，110。它们被减掉两次，所以应加上）
分子同时为3和11的倍数，有：165/33 -1=4个。（分子为33，66，99，132。它们被减掉两次，所以应加上）

所以，分母为165的最简真分数有：164 -54 -32 -14 +10 +2 +4 =80个。

在算这些最简真分数的和,首先算分子的和：
1. 分子从1到164的和S1 =1+2+3+...+164 =（1+164）*164/2 =13530.
2. 分子为3的倍数的和S2 =3+6+9+..+162 =(3+162)*54/2 =4455.
3. 分子为5的倍数的和S3 =5+10+15+...+160 =(5+160)*32/2 =2640.
4. 分子为11的倍数的和S4 =11+22+33+...+154 =(11+154)*14/2 =1155.
5. 分子同时为3和5的倍数的和S5 =15+30+45+...+150 =（15+150）*10/2 =825.
6. 分子同时为5和11的倍数的和S6 =55+110 =165.
7. 分子同时为3和11的倍数的和S7 =33+66+99+132 =330.

所以，这80个最简真分数的分子和 =S1-S2-S3-S4+S5+S6+S7 =13530-4455-2640-1155+825+165+330
=6600

所以，这80个最简真分数的和 =6600/165 =40.

用容斥原理。165分解质因数是3x5x11，能被3整除的55个，能被5整除的33个，能被11整除的15个，能被3和5整除的11个，能被3和11整除的5个，能被5和11整除的3个，能被165整除的1个，用55+33+15-11-5-3+1=85个，用165-84=80个。

分子是不能被5，3，整除的数

5的倍数的不行，165除以5得到33个数，，3的倍数也不行，得到55个数，11的倍数也不行，得到15个，是165-33-15-55-=62

80
本题实际上是问 1-164 间的 164 个自然数中有多少个与 165 无公约数.
首先计算 165 的约数：165=3*5*11
首先计算 1-164 内 3 5 11 的倍数个数：
a) 1-164 内 3 的倍数有 165/3-1 = 54,（减去的 1 指自然数 165,下同)
b) 1-164 内 5 的倍数有 165/3-1 = 32
c）1-164 内 11 的倍数有 165/11-1 = 14
下面计算三组中重复的自然数个数：
d) 1-164 内 3*5=11 的倍数有 165/3/5-1 = 10 (a b两者重复的数)
e) 1-164 内 3*11=33 的倍数有 165/3/11-1 = 4 (a c两者重复的数)
f) 1-164 内 5*11=55 的倍数有 165/5/11-1 = 2 (a b两者重复的数)
所以,a b c 三者的总数为 54+32+14-10-4-2=84
剩下的数都是与 165 无公约数的,总共有 164-84=80

165＝3*55＝5*33＝11*15
除了3，5，11的倍数，分子是1，2. 4.7..。。。。。