高中生数学题目

解：
（1）
因为f(x0*x1+x0*x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2),  ①
令x1=x2=0得：
f(0)=2f(0)+f(x0),
所以，f(0)+f(x0)=0 ②
令x1=1, x2=0得：
f(x0)=f(x0)+f(1)+f(0),
故，f(1)+f(0)=0 ③
由②、③知，
f(x0)=f(1)，

中学数学中的单调函数一般都是指严格单调函数，即a>b => f(a)>f(b)（严格增）或 f(a)<f(b) （严格减），而不考虑f(a)>=f(b) 或 f(a)<=f(b)的情况。
在此约定下，
如果x0<1则f(x0)<f(1)（严格增）或f(x0)>f(1)（严格减），不会有f(x0)=f(1)的情况。与已知矛盾。
同理，若x0>1，也会产生矛盾。
故只能有x0=1。

（2）
于是，f(x1+x2)=f(1)+f(x1)+f(x2),
令x1=x2=x，则
f(2x)=1+2f(x)，
f(4x)=1+2f(2x)=3+4f(x)，
f(8x)=1+2f(4x)=1+6+8f(x)=7+8f(x)，
f(16x)=1+2f(8x)=1+14+16f(x)，
于是很容易得出结论：
f(2^n*x)=2^n-1+2^n*f(x),
用数学归纳法很容易证明。
在上式中，令x=1/2^n，得：
f(1)=2^n-1+2^n*f(1/2^n)，
即1=2^n-1+2^n*f(1/2^n)，
故f(1/2^n)=-1+2^(1-n)，
故a_n=1+f(1/2^n)=2^(1-n)。