∫∫x平方dS,Σ是x平方+y平方=a平方上介于z=0到1

∫∫x平方dS,Σ是x平方+y平方=a平方上介于z=0到1

x² + y² = a²，0 ≤ z ≤ 1
∫∫_(Σ) x² dS，由轮换对称性
= ∫∫_(Σ) (x² + y²)/2 dS
= (a²/2)∫∫_(Σ) dS，曲面面积
= (a²/2) * 2π(半径)(长度)
= (a²/2) * 2π(a)(1 - 0)
= πa³

不用对称性的话略麻烦，
在xOy面上没有投影，故考虑yOz面
Σ1：x = √(a² - y²)，x'y = - y/√(a² - y²)，dS = a/√(a² - y²) dydz
Σ2：x = - √(a² - y²)，x'y = y/√(a² - y²)，dS = a/√(a² - y²) dydz
∫∫_(Σ) x² dS
= ∫∫_(Σ1) x² dS + ∫∫_(Σ2) x² dS
= ∫∫_(D) (a² - y²) * a/√(a² - y²) dydz + ∫∫_(D) (a² - y²) * a/√(a² - y²) dydz
= 2∫∫_(D) a√(a² - y²) dydz，D为矩形：- a ≤ y ≤ a，0 ≤ z ≤ 1
= 2a∫(0,1) dz ∫(- a,a) √(a² - y²) dy
= 2a∫(- a,a) √(a² - y²) dy
= 2a * (半圆D的面积 = πR²/2)
= 2a * πa²/2
= πa³