过椭圆x^2/4+y^2=1的焦点F作弦AB,求三角形AOB(O是坐标原点)面积的最大值.求详解

过椭圆x^2/4+y^2=1的焦点F作弦AB,求三角形AOB(O是坐标原点)面积的最大值.求详解

椭圆x^2/4+y^2=1,a=2,b=1,c=√3 F1(-√3,0),F2(√3,0) 设椭圆弦AB过F1 直线AB:y=k(x+√3),x=(y-√3k)/k x^2/4+y^2=1 x^2+4y^2=4 [(y-√3k)/k]^2+4y^2=4 (1+4k^2)y^2-2√3ky-k^2=0 △=(-2√3k)^2-4*(1+4k^2)*(-k^2)=16k^2*(1+k^2) 设yA>yB yA-yB=√[16k^2*(1+k^2)/(1+4k^2)] 设三角形AOB(O是坐标原点)面积=S,则 S=OF1*(yA-yB)/2=0.5√3*√[16k^2*(1+k^2)]/(1+4k^2) (16S^2-12)k^4+(8S^2-12)k^2+S^2=0 (1)AB⊥X轴 x=-√3 yA-yB=1 S=√3*1/2=√3/2 (2)AB不⊥X轴 未知k^2的方程有实数解,则它的判别式△≥0,即[(8S^2-12)]^2-4*(16S^2-12)*S^2≥0 S^2≤1 可知三角形AOB(O是坐标原点)面积的最大值=1

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