函数f(x)=1/3ax^3+1/2ax^2-2ax+2a+1的图像经过四个象限,则实数a的取值范围是

函数f(x)=1/3ax^3+1/2ax^2-2ax+2a+1的图像经过四个象限,则实数a的取值范围是

首先a≠0,否则f(x)=1,其图像只经过一二象限.
f´(x)=ax²+ax-2a=a(x²+x-2)=a(x+2)(x-1),f(x)=2ax+a=a(2x+1),
分别令f´(x)=0,f(x)=0得两个驻点x1=-2,x2=1,一个拐点x0=-1/2,
f(x1)=-3a,f(x2)=3a,f(x0)=37a/12+1,f(x1)=16a/3+1,f(x2)=5a/6+1.
若a＞0,
f(x1)＜0,f(x2)＞0,
f(x1)为极大值,f(x2)为极小值,
显然,此时f(x1)=16a/3+1＞0,
所以,只要f(x2)=5a/6+1＜0,即a＜-6/5,就能保证图像过第四象限,
但这与a＞0矛盾,所以无解.
若a＜0,
f(x1)＞0,f(x2)＜0,
f(x1)为极小值,f(x2)为极大值,
只要f(x1)=16a/3+1＜0,即a＜-3/16,
且f(x2)=5a/6+1＞0,即a＞-6/5,就能保证图像过第四象限,
所以-6/5＜a＜-3/16.
综上所述,a∈(-6/5,-3/16).
再问： 。。。。。。。智商太低。。。。。看不懂
再答： 先对函数求导，有f'(x)=ax^2+ax-2a=a(x+2)(x-1), 则在x=1，-2时，函数取到极值， 若a>0,则图像必过一三象限，x=-2时为极大值，x=1为极小值， 要满足题意，则f(-2)>0且f(1)