x²+y²=9求3x+2y最大值

x²+y²=9求3x+2y最大值

令x=3sina，y=3cosa
得 9sin²a+9cos²a=9
3x+2y = 9sina+6cosa
求导，得 -9cosa + 6sina=0，得 cosa/sina=9/6=1.5
因此当 tan a =1.5时求得极值，
a = arc tan 1.5
x= 3sina = 3*sin(arc tan 1.5)
y = 3cosa = 3*cos(arc tan 1.5)
3x+2y最大值 = 9*sin(arc tan 1.5) + 6 cos(arc tan 1.5) = 10.81665383

设3x+2y=t 则 y=（t-3x）/ 2是一条之间并且与x²+y²=9至少有一个交点 将 y=（t-3x）/ 2代入x²+y²=9 整理得13x²-6tx+t²-36=0 Δ≥0 即 Δ＝（- 6t）² — 4*13*（t²-36）≥0 整理 t²≤ 117 -3√13 ≤ t ≤ 3√13 3x+2y最大值3√13

如图，3x+4y<=12、x+4y>=4、3x+2y>=6限定的区域为图中红色三角形；

以x、y为边的矩形面积最大时，p(x，y)必在线段ab上；

由于 ab在直线 3x+4y=12上，故 2根号(3x4y)≤3x+4y=12，故 根号(12xy)≤6，得 xy≤3；

所以 xy 的最大值为3.